2. Die Grundlagen der Markov-Kette
2.1 Die Grundlagen Teil 1/3
In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Markov-Ketten anhand eines Beispiels vermittelt und ihre Darstellungsformen diskutiert. Des weiteren werden einige Sonderfälle einer solchen Kette besprochen.
Gegeben sei der folgende Graph:
Abb. 1 (1)
Auf den ersten Blick etwas verwirrend, entschlüsselt sich die Abbildung schon nach folgenden Überlegungen:
Gegeben seien die Anzahl der Zustände S = { 0, 1, 2, 3, 4 }. Diese bilden den Verbund der Zustände, die hier modelliert werden und die das System erreichen kann.
Die Pfeile, welche die Zustände miteinander verbinden, zeigen, in welche Zustände man vom aktuell betrachteten Zustand aus übergehen kann. Der Übergang von einem Zustand in den anderen wird als Transition, oder Transitionsschritt bezeichnet.
Die Zahlen an den Pfeilen stellen die Wahrscheinlichkeit dar, mit der der Zustand am Beginn des Pfeiles zu dem Zustand an der Pfeilspitze übergeht. Pfeil und Wahrscheinlichkeitswert bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsvektor.
Weiterhin wird definiert, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeitsvektoren, die von einem Zustand ausgehen, gleich 1 sind.
Die Zustandsmenge und die Menge der Wahrscheinlichkeitsvektoren sind endlich.
All diese Definitionen mögen zunächst verwirrend klingen, doch bei näherer Betrachtung sind sie selbsterklärend:
Abb. 2
Dieses triviale Beispiel aus Abb. 1 beinhaltet alle soeben definierten Eigenschaften. Die Zustandsmenge S ist { 4 }, der Wahrscheinlichkeitsvektor zeigt ebenfalls auf den Zustand 4 und ist mit der Wahrscheinlichkeit gleich 1 versehen. Es bedeutet, dass mit 100%iger Wahrscheinlichkeit Zustand 4 in sich selber übergeht.
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